非线性理论在水文学中的应用研究及展望_曹永强

0 引 言

水文系统不仅是一个开放、复杂的巨系统 , 同时又是一个 非线性复合系统〃水文问题的研究需要引入新理论和新方法 , 从多方面揭示水文的内在规律 ,从而为水资源合理开发、利用 和有效配置提供更多的科学依据〃非线性科学的发展 ,尤其是 混沌、分形和小波等非线性理论的发展和应用研究的不断深 入 ,为复杂、开放、非性线 的水文系统 的定量分析与研究提供 了新的理论和方法 ,从而也使水文系统的研究上升到非线性复 杂系统的层次〃 同时 , 随着水文科学、技术的发展和水文资料 的不断积累 , 特别是空间信息技术在水文水资源中的不断应 用和发展 ,也为水文科学的非线性研究提供了基础条件〃

混沌、分形和小波理论构成了非线性科学研究的主要内 容 ,属于非线性科学研究的前沿领域〃 在实践中 ,人们发现许 多水文现象均不同程度地存在着 自相似和混沌特征 , 这些探

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索与认识为非线性理论的引入提供了可能〃 为解决水文系统 的非线性提供了理论框架〃例如 ,通过应用混沌理论中的相空 间重构技术 ,可把水文时间序列嵌入到重构的相空间中 , 并借 助于分形理论和符号动力学 , 来揭示水文动力系统复杂的运 动特征 ,寻求其内在的规律性〃 因此 ,从非线性角度去认识水 文系统的演变规律具有重要的现实意义和科学价值〃

1 混沌理论在水文学中的应用

混沌理论是非线性动力学的重要发展〃 混沌现象的研究

收稿日期:2005-03- 18

基金项 目 :水文水资源与水利工程科学国家重点实验室资助项 目 (2004405111)

作者简介 :曹永强 (1973— ) , 男 , 内蒙古丰镇人 , 清华大学水利 水电工程系博士后 ,主要从事水资源利用与水环镜管理的研究.

第 31 卷第 4 期 曹永强 ,等:非线性理论在水文学中的应用研究及展望

水文计算

自 20 世纪 60 年代开始以来 ,到 80 年代初期已经初步发展成 为一个具有独特的概念体系和方法论框架的新学科。人们发 现某些存在非线性作用的确定性系统 , 同样会表现出随机特 性 ,于是把蕴涵在确定性方程中的这种随机性称为混沌。混沌 现象的发现在决定论和随机论之间架设了一座桥梁 , 是当代 科学中革命性的成就之一。它的发现开启了简化复杂现象的 可能性 ,提高了人们对某些随机现象的认识水平和预测能力。

要将混沌理论应用于水文系统 , 首先就需判别水文系统 的运动形式是否为混沌运动 , 即进行混沌识别;然后才可借助 相空间重构技术构建水文系统的相空间 , 并应用混沌分析方 法在重构的相空间中分析水文系统的运动规律 ; 最后再在上 述分析基础上 ,做进一步的诸如混沌预测等的研究。所以水文 系统的相空间重构、混沌识别及其混沌预测是应用研究中的 三大关键问题。

1.1 混沌理论在水文学中的研究及应用现状

水文学领域的混沌研究起步较晚 , 在过去 10 多年里 ,混 沌理论在水文学中研究发展比较迅速 , 国内外学者利用混沌 理论对水文过程进行了大量分析。如利用关联维数方法研究 降雨过程时 间序列 的混沌性 ;计算径流时 间序列 的 Lyapunov 指数及其关联维数来判断径流时间序列的混沌特性。即 ,该理 论应用于降雨、径流的研究较早 ,成果较多 ,但争论仍然存在[1] ; 洪水方面尚没有系统的研究成果。 目前混沌理论在水文学中 的研究进展主要集中在:水文系统混沌性的判定和非线性预测 模型的研究两个方面。

在国外 ,Hense 等人对月降雨值序列进行分析 ,提 出 了 降 雨序列奇怪吸引子存在的假定[2] 。Rodriguez 等人研究了 148 a 的周降水记录及一次暴雨过程 , 结果认为周降水聚集在一个 很大的时间尺度上 , 自由度数目较多因而可能是随机的过程 ; 而一次 15 s 时段 的暴 雨过程基本上表 明具有混沌动力性[3]。 Ghi1ardi 等人认为 Rodriguez 等人的分析方法不完善且论据尚 不够充分[4] 。Breaford 等人首次将混沌理论应用于融雪径流的 研究 ,结果表明融雪径流是具有很多自由度的随机行为 ,支持 用随机模型描述径流[5] 。Jayawardena 对水文时 间序列 的混沌 特性做了一些初步探讨 , 并对降雨径流时间序列进行了混沌 性分析和预测[6 ,7] 。Taiye 使用自相关函数法、互信息法计算了 美国 GsL 水量系统的相空间嵌入滞时 , 并分别用 G-P 算法、 固定质量法计算其分形维数 , 得 出可 以用低维相 空 间描述 GsL 的水量动力系统[8] 。Upmanu 等人在此基础上对 GsL 的水 量预测进行了研究 。 他们在相空间中建立了非参数预测模 型—— 多变量自适应样条函数模型 ,并与自回归模型比较 , 多 变量自适应样条函数模型显示出较大优越性[9] 。sivakumar 基 于确定性的混沌理论建立了二阶局域预测模型 , 并应用于巴 西 Coaracy Nunes/Araguari 流域的月径流预测 , 结果验证了模 型的可行性[10] 。Is1am 等人依据自相关函数法、Fourier 功率谱 分析法、关联积分法和伪邻近点法等多种途径 ,对径流序列进 行了混沌分析 , 结果表明 Lindenborg 流域的径流动力系统具 有低维混沌特性[11] 。sivakumar 等人基于相空间重构的局域法 及人工神经网络的全域法 ,对泰国 Chao Phraya 流域的日径流 序列进行了预测[12]。Jayawardena 等人在广义自由度基础上 ,提

出了动态确定最邻近点数的判定条件 , 从而克服了以往将最 邻近点数固定化的缺陷 。经典混沌系统和实际水文系统的计 算分析表明 ,该方法可以提高模型的预测精度[13]。

在国内 , 傅军探讨了洪水的混沌特性并完善了一些分析 方法。他通过重构洪水相空间 ,定性分析低维情形下的洪水演 化的相图及彭加莱映像 ,并进行了功率谱分析、经验性的统计 检验[14]。丁晶等提出了以互信息为基础的广义相关函数概念 , 定量揭示了变量间线性或非线性的广义相关程度 , 并利用广 义相关函数来确定重建相空间的嵌入滞时[15] 。赵永龙详细讨 论了确定相空间嵌入参数的各种方法 , 为水文混沌分析法奠 定了坚实的基础[16] 。温权结合葛洲坝和隔河岩的多种时间序 列 , 计算 了它们 的最大 Lyapunov 指数 , 发现这些径流序列 中 都不同程度地存在着混沌现象[17] 。周寅康等人对淮河流域洪 涝变化序列的混沌特征 、耗散性及可预报时间进行了一系列 的研究 。从功率谱结构、Lyapunov 指数、吸引子维数和可预报 时 间等方面分析 了淮河流域洪涝变化 的混沌性质[18] ;通过表 征相 空 间轨道 附近平均 收缩 (发散 )特征 的 Lyapunov 指数 , 定 量地 分 析 和 论证 了淮河 流 域 洪 涝变 化 的 耗 散 性[19] ; 采 用 Ko1mogorov 熵和 Lyapunov 指数谱分析淮河流域洪 涝变化 的 可预测 时 间[20] ;依据混沌理论和微分方程反演建模原理建立 了三维二阶微分方程组来描述淮河洪涝时间序列所表征的混 沌动力系统[21] 。 文献[22]研 究 了混沌理论在径流预报 中 的应 用 ,主要内容由水文时间序列的混沌特性分析、水文时间序列 的混沌预测模型和基于混沌优化算法的模糊优选神经网络预 测模型三部分组成。

1.2 混沌理论存在的不足

混沌现象识别方法要求的基本假设对于水文系统和水文 过程特别严格 ,使混沌理论在延迟时间、数据量大小和噪声三 方面的应用和研究存在争议。混沌理论正处于快速发展阶段 , 尚有不少理论和实际计算问题需要完善 ,主要表现如下 :

(1)混沌识别的大多数方法 ,都是从某一方面判别水文序 列是否为混沌序列的必要条件 , 而人们所关心的是水文系统 是否具有混沌运动的明确答复。因此 ,有必要对混沌识别的方 法做进一步的研究。

(2)由于水文资料 的长度有 限且不可避免地存在观测误 差 ,有限的样本容量和误差 (噪声 )必然会对混沌识别和分析 方法产生影响。因此 ,有必要进一步研究资料长度和噪声对混 沌分析方法的影响。

(3) 目前混沌水文时 间序列预测一般是基于 日径流序列 所进行 的水文短期预测 , 而基于旬、月、年等径流序列所进行 的中、长期水文预测则研究很少。

(4)目前的混沌水文预测模型主要针对径流时间序列 ,今 后的研究应进一步尝试如何利用更多的水文信息 , 如降雨序 列信息等 ,来完善混沌水文预测模型。

(5)对水文时 间序列 的混沌特性及其非线性预测研 究属 于点预测范畴 , 即以局域映射函数或全局映射函数来模拟确 定性的混沌规则 ,推测下一点的水文要素值 ,而对混沌水文时 间序列区间预测的研究很少。

(6)由于水文径流系统的时空复杂性 , 需对大量的观测序

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水文计算 水 力 发 电 2005 年 4 月

列进行分析和研究 , 以提高对径流系统非线性特征的认识 , 总 结出一般性混沌特征和演化规律。

(7) 由于混沌具有 内随机性、遍历性和规律性 , 特别是混 沌的遍历性特点可作为搜索过程中避免陷入局部极小的一种 优化机制。 因此 ,混沌已成为一种新颖的优化技术 ,但混沌优 化在水文应用中的研究还很少。

2 分形理论在水文学中的应用

分形理论 自诞生以来 ,便被誉为大 自然的几何学 , 并逐渐 发展成为现代数学的一个新分支。这个世界本质上是非线性 的 ,而分形是非线性 的几何表现 。分形最重要 的特性是 自相 似性 ,最重要 的概念是分形维数 。分形几何在两个方 向平行 发展∶ 研究非线性动力系统 的混沌特性及吸 引子 的奇异性﹔ 研究 自然界复杂几何形态的分形特性 o 分形理论从诞生起就 与地学结下不解之缘 o 分形理论的创立和发展不仅为地学规 律性的发现建立 了崭新 的数学语言和定量描述 , 同时为地学 提供了新思想和新方法。流域水系和水文过程是分形领域最 经典 的课题 , 水系形态结构和功 能 的 自相似性、不规则性与 分 形 几 何 的 性 质 丝 丝 入 扣 。 因 此 , 分 形 理 论 的 创 始 人 Mandelbrot 于 1977 年首次将分形理论引入水文学 。由于尺度 问题的研究对于掌握水文规律至关重要 , 而且水文系统存在 大量 自相似现象 , 分形理论可以将不同尺度的水文变量通过 标度变换联系起来 , 所以分形理论在水文系统具有很大的应 用前景。

在我国 ,分形理论研究还处于初级阶段。分形理论 自创立 以来 ,在许多领域得到了广泛的应用 。20 世纪 80 年代初 , 国 内外学者主要开展了流域地貌系统的地貌特征量间的统计分 形 ,洪水、降雨和暴雨的时空分布 ,径流过程的分形特性 ,水文 模型尺度问题等的研究。近期 ,在河道线状分形及平面形态分 形研究的基础上 ,开始对水系的河网分形进行研究 ,初步探讨 了水系分形特性与流域地貌发育过程的关系 。在河网分形的 基础上 , 开始运用分形理论对干旱区的景观镶嵌结构的复杂 性和稳定性进行定量研究 , 为干旱区的生态环境保护和可持 续发展提供科学依据。分形在水文学中的应用离不开 3s 技术 , 随着该技术的广泛应用 , 分形的研究领域也从单纯的河网级 别组成研究扩展到流域地貌侵蚀发育、植被覆盖、水系空间分 布等更广阔的领域[23-26]。

分形理论在水文系统中的应用问题 , 国外专家研究的比 较多。国 内学者对一些孤立水文现象的分形特性研究较多 ,但 系统的水文规律与尺度的关系研究很少 , 只进行了降雨和径 流时间上的水文尺度应用研究。研究方法主要包括[27] ∶研究水 文变量的时空分布 ,计算其分形维数或多重分形谱﹔研究水文 变量在不同尺度的变化规律 ,探求水文变量与尺度间的关系﹔ 根据水文变量的时空分布规律 , 建立随机模型 , 进行随机模 拟﹔应用时间序列方法进行预报﹔将尺度思想引入具有物理基 础的水文模型。

3 小波分析在水文学中的应用

小波分析是 由法 国工程师 Morlet 于 1980 年在分析地震

资料时提出的 。在随后的 20 多年间 ,小波分析成为国内外专 家学者研究的热点。 目前小波分析在信号处理、图像压缩、语 音编码、模式识别、地震勘探、大气科学 以及许多非线性科学 领域内取得了大量的研究成果。小波分析是 Fourier 分析发展 史上的一个里程碑式 的进展 , 具有时、频 同时局部化 的优 点 , 被誉为数学 “显微镜”, 其理论形成经历了三个阶段 ∶Fourier 变换阶段、短时 Fourier 变换阶段和小波分析阶段 o 小波函数 是小波理论的重要内容 , 也是水文序列小波分析的前提和条 件o 小波分析是水文多尺度时间分析的有效途径 ,可以为水资 源的预测和合理开发提供强有力的分析计算方法o 将小波分 析引入水科学应用研究中 ,并与现代科学理论和方法结合 ,从 多方面揭示水科学的内在规律 , 可为水资源合理开发利用和 有效配置提供更多的依据[28] o

水文是一种 自然现象 ,其研究对象是大量的观测资料 o 依 靠观测得到的水文信息不仅有限 ,而且存在误差o而小波分析 具有多分辨力的功能 ,应用于水文系统潜力很大∶可以深刻地 揭示各种水文序列的变化特性 ,可对不同序列进行识别分类 , 非常适合分析水文时间序列﹔ 通过小波分析可以建立合适的 用于预测预报的小波组合模型﹔ 通过小波的分解和重构可以 进行随机模拟 ,用于水文水资源的分析与计算o

小波理论和方法处于发展阶段 ,在水文系统中的应用方兴 未艾o 从 1993 年小波理论引入水文学科以来 , 已经取得了一些 研究成果 , 主要表现在[29] ∶水文 多 时 间尺度分析、水文 时 间序 列变化特性分析、水文预测预报和随机模拟 o 小波理论也面临 一些问题∶小波分析局域现象并不一定是最优的 ,尤其是当函 数中有全域性的周期分量时 ,用傅氏变换更合适 ,或者傅氏变 换和小波分析相结合使用﹔如何根据具体情况确定伸缩尺度、 平移量和小波基函数类型﹔ 如何消除边界干扰作用以及如何 在应用中合理地实现小波技术与其他分析方法 的合理耦合 , 等 o

4 结语与展望

混沌、分形、小波理论的研究深化了人们对非线性复杂现 象的认识 , 得到了包括地学在内的众多学科领域的关注和重 视 ,其理论探索和应用研究正在不断深入拓展 o 随着现代非 线性理论的不断发展 ,非线性应用研究的不断深入 , 以及水文 学本身的发展 , 复杂而开放的水文系统的非线性研究将逐步 深入o

通过总结非线性理论在水文学中的应用研究 , 发现由于 非线性理论本身的复杂 , 很多模型和概念无法直接应用到实 际工作中o但是 ,非线性理论无疑将人们对水文系统的认识推 进到复杂系统的角度 , 不再是以往纯粹靠数学回归分析或单 纯的神经网络计算 , 而是从数学和物理机理方面深层次地认 识它o 要全面深入地研究水文系统的非线性还有很长的路要 走o

为此 ,对今后的工作提出如下建议∶

(1)混沌理论方面o 由于水文径流系统的时空复杂性 ,应 对大量观测序列进行分析和研究 , 提高对径流系统非线性特 征的认识 ,总结出一般性混沌特征和演化规律﹔ 由于混沌水文

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时间序列区 间预测 目前所进行 的工作仍处于初步研究阶段 , 所以有许多地方需要进一步完善和发展 , 如区间预测原理和 算法的研究 ,特别是在实际应用中如何操作等等;进一步探索 混沌时间序列的非线性预测模型 ,尝试利用更多的信息 ,如降 雨序列 ,来改进目前的非线性预测模型;有必要对混沌识别的 方法做进一步的研究; 混沌优化的理论研究是很重要且迫切 的研究课题 , 尤其是从理论上研究混沌的引入与控制对算法 全局搜索能力的影响 , 其研究成果有助于指导混沌优化算法 的设计。

(2)分形理论方面。水文系统分形特性普遍存在 , 降雨和 径流、流域的地形地貌、地下水和水文地质等方面均存在很多 的分形现象。不仅要研究时间分配上的分形特征 ,还要研究空 间分布上的分形特性。事实上 ,水文系统时间和空间上的分形 特性关系十分密切 ,二者是一个有机共同体。水文现象的分形 性质很多 ,不仅要研究 自相似性 ,还要研究 自仿射、胖分形等 性质 , 以便更全面地反映水文现象的变化规律。另外 ,不能只 局限于分形性质的研究 , 还应研究水文系统分形形成的原因 和产生机制。

(3)小波分析方面。小波分析在水文系统中的应用还有大 量的工作要做 , 可在 以下几个方面进行:小波 函数选择研究; 小波变换算法研究;水文过程奇异性检验和去噪方法研究;混 沌理论、分形理论、神经网络、遗传算法、模糊集理论和小波理 论的深度耦合应用 ,构造新的水文序列组合预测预报方法;小 波分析与随机分析的有机耦合 ,构造水文序列小波随机模型; 等等。

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